ข้อมูล

สมมาตรในวิชาคณิตศาสตร์ V


จากฟิสิกส์เราเรียนรู้ว่า "ความยาวของพลังค์" อาจเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ผลิตโดยธรรมชาติ นักฟิสิกส์มักใช้ "สัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์" เพื่อเป็นตัวแทนของ "ลำดับความสำคัญ" ดังนั้นความยาวของพลังค์จึงถูกเขียนเป็น 10-35 เมตร โปรดจำไว้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของอะตอมเพื่อการเปรียบเทียบอาจแตกต่างจาก 10-15 เมตรถึง 10-10 เมตร ดังนั้นลำดับความยาวของพลังค์จึงมีขนาดเล็กกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของอะตอมยี่สิบเท่า: 10-35 = 10-15 ' 10-20.

กุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจสมมาตรระหว่าง มีขนาดใหญ่มาก และ เล็กไม่ จำกัด มันเป็นธรรมเนียมที่แม่นยำของนักฟิสิกส์ที่จะเป็นตัวแทนของทั้งสองผ่านสัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์ สำหรับทุก ๆ คนที่มีจำนวนมากให้พูดว่า 1035เราจับคู่กับตัวเลขที่น้อยมากในกรณีนี้คือเลข 10-35. โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองตัวนี้คือ 1 เพราะ 10-35 คือในระบบตำแหน่ง 0 ตามด้วยเครื่องหมายจุลภาคและ 34 ศูนย์ตามด้วย 1 ขณะที่ 1035 คือ 1 ตามด้วย 35 ศูนย์ก่อนเครื่องหมายจุลภาค เมื่อเราคูณกันแต่ละศูนย์ก่อนเครื่องหมายจุลภาคเท่ากับ 1035 ทำให้คอมม่าของอีกฝ่ายเลื่อนหนึ่งช่องไปทางขวา ดังนั้นในที่สุดเราจะได้ 10-35 ' 1035 = 1! โปรดทราบว่าบัญชีที่เราทำนั้นเหมือนกับว่าเราทำเพียง 10-35+35 = 100 = 1. ในคำพูดการย้ายเครื่องหมายจุลภาค 35 ตำแหน่งไปทางซ้ายจากนั้น 35 ตำแหน่งทางด้านขวาจะทำให้ 1 ไม่เปลี่ยนแปลง

เครื่องหมายจุลภาคคือสันปันน้ำระหว่างใหญ่และเล็ก เราสามารถสร้างตัวเลขที่เล็กลงและเล็กลงได้ง่ายๆโดยการใส่เลขศูนย์หลังเครื่องหมายจุลภาคมากเท่าที่เราต้องการตามด้วยหมายเลขใด ๆ ตัวอย่างเช่น 0.000000000000000000000007 ในทำนองเดียวกันและสมมาตรเราสามารถเพิ่มจำนวนได้โดยการเขียนตัวเลขตามด้วยจำนวนศูนย์ตามที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น 70,000,000,000,000,000,000,000 โปรดทราบว่าการแสดงตัวเลขจำนวนมากในระบบตำแหน่งทศนิยมง่ายกว่าการค้นหาชื่อสำหรับพวกเขา

ในวิชาฟิสิกส์เราไม่สามารถคาดการณ์ความยาวของพลังค์ถึงปริมาณที่น้อยลงได้ แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีข้อ จำกัด เรื่องจินตนาการของเรา เนื่องจากไม่มีปริมาณที่ทราบได้น้อยกว่าความยาวของพลังค์ดังนั้นจึงไม่ทราบว่ามีมากกว่า 10 หรือไม่100 อะตอมในเอกภพที่สังเกตเห็นได้ของเรา ในจินตนาการของเรามันโอเคที่จะคิดตัวเลขเช่น 101000 และ 10-1000. ยิ่งกว่านั้นผลิตภัณฑ์ของสองสิ่งนี้เท่ากับ 1! นี่คือส่วนที่น่าสนใจ มี โครงสร้างทวีคูณ มันน่าทึ่งมากที่เราจะมองอย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้นในตอนนี้

ทุกหมายเลขของแบบฟอร์ม 10ยังไม่มีข้อความ สอดคล้องกับรูปแบบอื่น 10-N และผลิตภัณฑ์ของกันและกันคือ 1 เราอาจถามว่า: สำหรับแต่ละจำนวนมากนั้นจะมีจำนวนน้อยไหมว่าผลิตภัณฑ์ของทั้งสองเป็น 1 เสมอหรือไม่ หากเราสมมุติว่านี่เป็นจำนวนบวกทุกตัวเรามีข้อมูลต่อไปนี้เกี่ยวกับจำนวนบวก:

(a) ทุกจำนวนบวกยอมรับอีกว่าผลิตภัณฑ์ของทั้งคู่เป็น 1

(b) โดยการคูณจำนวนบวกสามตัวที่เราสามารถทำได้ในลำดับใด ๆ

(c) 1 เป็นกลางในการคูณ

คุณสมบัติ (a) เป็นผลมาจากความปรารถนาของเราที่ความสมมาตรที่น่าสนใจระหว่างขนาดใหญ่และขนาดเล็กขยายไปถึงจำนวนบวกทั้งหมด คุณสมบัติ (b) เป็นผลมาจากความปรารถนาของเราที่จะไม่ทำลายความรู้ที่เรามีเกี่ยวกับการคูณซึ่งไม่ว่าจะเรียงตามลำดับที่เราคูณตัวเลขสามจำนวนก็ตาม สุดท้ายคุณสมบัติ (c) เป็นการสังเกตที่มีประโยชน์และสำคัญมาก มันบอกเราว่า 1 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางในการคูณจำนวน

แต่คำถามเกิดขึ้นทันที: เหตุใดเราจึงเลือกคุณสมบัติทั้งสามนี้อย่างแม่นยำ เพราะสามคือจำนวนคุณสมบัติขั้นต่ำที่เราต้องอธิบายถึงความสมมาตร ตัวเลขที่ตอบสนองคุณสมบัติทั้งสามนี้เป็นโครงสร้างสมมาตรที่เรียกว่า กลุ่ม. โครงสร้างสมมาตรที่เรียกว่ากลุ่มนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์เพื่อวัดความสมมาตรของธรรมชาติและได้สร้างความรู้ใหม่จำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์เอง

จำนวนเต็มบวกและลบจัดกลุ่ม แต่เกี่ยวข้องกับการบวก นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มเราพิจารณาสามคุณสมบัติเดียวกันข้างต้นโดยการเปลี่ยนการคูณคำด้วยการบวกซึ่งบังคับให้เราเปลี่ยนองค์ประกอบที่เป็นกลางที่กลายเป็นศูนย์ เราบอกว่าสมมาตรของจำนวนเต็มนั้นเพิ่มขึ้นในขณะที่สมมาตรของจำนวนบวกขนาดใหญ่และขนาดเล็กนั้นเป็นแบบทวีคูณ สำหรับจำนวนเต็มเราเขียน:

(a) เลขจำนวนเต็มทุกตัวยอมรับค่าอื่นเช่นกันว่าผลรวมของทั้งสองคือ 0;

(d) โดยการเพิ่มจำนวนเต็มสามจำนวนที่เราสามารถทำได้ในลำดับใด ๆ

(e) 0 มีความเป็นกลางนอกจากนี้

อาจมีคนถามตอนนี้: ทำไมเราถึงมีเชิงลบในความสมมาตรระหว่างใหญ่กับเล็ก คำถามนี้น่าสนใจและจำเป็นในตอนนี้ คำตอบคือมีสำเนาสมมาตรเกือบสมบูรณ์แบบของกลุ่ม multiplicative ของ positive ขนาดใหญ่และขนาดเล็กถ้าเราวาง positive เครื่องหมายลบทางด้านซ้ายของ 0 บนเส้นตัวเลข ค่าบวกขนาดใหญ่หรือขนาดเล็กทุกค่ามีความสมมาตรเทียบกับ 0 ซึ่งอยู่ในระยะห่างจากศูนย์ ตัวอย่างเช่น 1,000 และ 0,001 มีความสมมาตรของพวกเขา -1,000 และ -0,001 เราบอกว่าการลอกแบบสมมาตรเกือบจะสมบูรณ์แบบเพราะการคูณเชิงลบทำให้เราได้รับค่าบวกที่ตกลงไปทางด้านลบของเส้นจำนวน อย่างไรก็ตามเราสามารถ "ดู" สำหรับแต่ละลบได้ไกลจากศูนย์มาก "ลบ" สมมาตร "ใกล้กับศูนย์มาก ตัวอย่างเช่น -1,000,000 และ - 0,000001

ภาพถ่ายสุดท้ายของสมมาตรระหว่างตัวเลขขนาดใหญ่และขนาดเล็กสามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้: ในเส้นตัวเลขทางด้านขวาของ 0 จะอยู่ในตำแหน่งบวกที่มีขนาดใหญ่และขนาดเล็กก่อตัวเป็นกลุ่มทวีคูณ สำหรับจำนวนบวกจำนวนมากแต่ละอันนั่นคือห่างจากศูนย์ทางด้านขวามาก ๆ และมีค่าลบค่อนข้างไกลจากศูนย์ทางซ้าย สำหรับจำนวนบวกที่น้อยมากนั่นคือใกล้มากกับศูนย์มีค่าลบใกล้กับ 0 แต่อยู่ทางซ้าย เชิงลบที่อยู่ไกลหรือใกล้ศูนย์ไม่ได้รวมกลุ่ม รายการเชิงลบพร้อมกับผลบวกยังคงเป็นกลุ่มแบบหลายกลุ่มเนื่องจากคุณสมบัติกลุ่มทั้งสามยังคงเป็นที่พอใจ

กลับไปที่คอลัมน์

<


วีดีโอ: รปทมแกนสมมาตร - สอการเรยนการสอน คณตศาสตร (พฤศจิกายน 2021).