บทความ

12.1: ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์และเส้นโค้งอวกาศ - คณิตศาสตร์


การศึกษาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์รวมแนวคิดจากการตรวจสอบแคลคูลัสตัวแปรเดียวในครั้งก่อนๆ กับคำอธิบายเวกเตอร์ในสามมิติจากบทที่แล้ว ในส่วนนี้ เราขยายแนวความคิดจากบทก่อนหน้า และยังตรวจสอบแนวคิดใหม่ๆ เกี่ยวกับส่วนโค้งในพื้นที่สามมิติด้วย คำจำกัดความและทฤษฎีบทเหล่านี้สนับสนุนการนำเสนอเนื้อหาในส่วนที่เหลือของบทนี้และในบทที่เหลือของข้อความด้วย

นิยามของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ขั้นตอนแรกของเราในการศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์คือการกำหนดว่าฟังก์ชันค่าเวกเตอร์คืออะไร จากนั้นเราสามารถดูกราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์และดูว่าพวกเขากำหนดเส้นโค้งได้อย่างไรในมิติสองและสามมิติ

คำนิยาม: ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์คือฟังก์ชันของรูปแบบ

[vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}} quad ext{or} quad vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}}+h(t),hat{mathbf{ k}},]

โดยที่ฟังก์ชันคอมโพเนนต์ (f), (g) และ (h) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของพารามิเตอร์ (t).

สามารถเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ในรูปแบบ in

[vecs r(t)=⟨f(t),,g(t)⟩ ; ; ข้อความ{หรือ} ; ; vecs r(t)=⟨f(t),,g(t),,h(t)⟩.]

ในทั้งสองกรณี รูปแบบแรกของฟังก์ชันกำหนดฟังก์ชันค่าเวกเตอร์สองมิติในระนาบ รูปแบบที่สองอธิบายฟังก์ชันค่าเวกเตอร์สามมิติในอวกาศ

เรามักใช้ (t) เป็นพารามิเตอร์เพราะ (t) สามารถแทนเวลาได้

พารามิเตอร์ (t) อาจอยู่ระหว่างจำนวนจริงสองจำนวน: (a≤t≤b) หรือค่าของพารามิเตอร์อาจอยู่ในช่วงชุดของจำนวนจริงทั้งหมด

แต่ละฟังก์ชันของส่วนประกอบที่ประกอบเป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์อาจมีข้อจำกัดโดเมนที่บังคับใช้ข้อจำกัดในค่าของ (t).

โดเมนของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r) คือจุดตัดของโดเมนของฟังก์ชันคอมโพเนนต์ กล่าวคือ เป็นเซตของค่าทั้งหมดของ (t) ซึ่งกำหนดฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ .

ตัวอย่าง (PageIndex{1}): การค้นหาโดเมนของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ระบุโดเมนของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t)=sqrt{2-t} ,hat{mathbf{i}}+ln(t+3),hat{ mathbf{j}} + e^t , hat{mathbf{k}})

วิธีการแก้

ก่อนอื่นเราพิจารณาโดเมนธรรมชาติของฟังก์ชันแต่ละองค์ประกอบ โปรดทราบว่าเราแสดงรายการโดเมนในทั้งสอง สัญกรณ์ตัวสร้างชุด และ สัญกรณ์ช่วงเวลา.

การทำงาน: โดเมน:
(egin{array}{ll} sqrt{2-t} & & ig{,t,|, t le 2ig} quad ext{or} quad (- infty, 2ig]
ln(t+3) & & ig{,t,|, t gt -3ig} quad ext{or} quad (-3, infty )
e^t & & (-infty, infty) end{array} )

โดเมนของ (vecs r) คือจุดตัดของโดเมนเหล่านี้ ดังนั้นจึงต้องมีค่าทั้งหมดของ (t) ที่ทำงานในทั้งสาม แต่ไม่มีค่าของ (t) ที่ไม่ทำงานในใดๆ หนึ่งในฟังก์ชันเหล่านี้

ดังนั้น โดเมนของ (vecs r) คือ: ( ext{D}_{vecs r}: ig{,t,|, -3 lt t le 2ig }) หรือ ( (-3, 2ig] )

โปรดทราบว่าจะต้องกำหนดรูปแบบโดเมนของ (vecs r) เพียงรูปแบบเดียวเท่านั้น อันแรก (ig{,t,|, -3 lt t le 2ig}) อยู่ใน สัญกรณ์ตัวสร้างชุดในขณะที่วินาที ( (-3, 2ig] ) อยู่ใน สัญกรณ์ช่วงเวลา.

ตัวอย่าง (PageIndex{2}): การประเมินฟังก์ชันค่าเวกเตอร์และการกำหนดโดเมน

สำหรับแต่ละฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ต่อไปนี้ ให้ประเมิน (vecs r(0)), (vecs r(frac{pi}{2})) และ (vecs r(frac {2}pi}{3})) ฟังก์ชันใด ๆ เหล่านี้มีข้อ จำกัด โดเมนหรือไม่?

  1. (vecs r(t)=4cos t,hat{mathbf{i}}+3sin t,hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=3 an t,hat{mathbf{i}}+4 sec t,hat{mathbf{j}}+5t,hat{mathbf{ k}})

วิธีการแก้

  1. ในการคำนวณแต่ละค่าของฟังก์ชัน ให้แทนที่ค่าที่เหมาะสมของ (t) ลงในฟังก์ชัน:

    egin{align*}vecs r(0) ; & = 4cos(0) hat{mathbf{i}}+3sin(0) hat{mathbf{j}} [4pt] & =4hat{mathbf{i}} +0 hat{mathbf{j}}=4hat{mathbf{i}} [4pt] vecs rleft(frac{pi}{2} ight) ; & = 4cosleft(frac{π}{2} ight)hat{mathbf{i}}+3sinleft(frac{π}{2} ight) hat{ mathbf{j}} [4pt] & = 0hat{mathbf{i}}+3 hat{mathbf{j}}=3 hat{mathbf{j}} [4pt] vecs rleft(frac{2pi}{3} ight) ; & =4cosleft(frac{2π}{3} ight)hat{mathbf{i}}+3sinleft(frac{2π}{3} ight) hat{ mathbf{j}} [4pt] & =4left(− frac{1}{2} ight)hat{mathbf{i}}+3left( frac{sqrt{3} }{2} ight) hat{mathbf{j}}=−2 hat{mathbf{i}}+ frac{3 sqrt{3}}{2} hat{mathbf{j} }end{จัดตำแหน่ง*}

    ในการพิจารณาว่าฟังก์ชันนี้มีข้อจำกัดโดเมนหรือไม่ ให้พิจารณาฟังก์ชันคอมโพเนนต์แยกต่างหาก ฟังก์ชันองค์ประกอบแรกคือ (f(t)=4 cos t) และฟังก์ชันคอมโพเนนต์ที่สองคือ (g(t)=3sin t) ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่มีข้อจำกัดโดเมน ดังนั้นโดเมนของ (vecs r(t)=4cos t,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{ j}}) เป็นจำนวนจริงทั้งหมด
  2. ในการคำนวณค่าฟังก์ชันแต่ละค่า ให้แทนที่ค่าที่เหมาะสมของ NS ลงในฟังก์ชัน:[egin{align*}vecs r(0) ; & = 3 an(0)hat{mathbf{i}}+4sec(0) hat{mathbf{j}}+5(0) hat{mathbf{k}} [ 4pt] & = 0hat{mathbf{i}}+4j+0 hat{mathbf{k}}=4 hat{mathbf{j}} [4pt] vecs rleft( frac{pi}{2} ight) ; & = 3 anleft(frac{pi}{2} ight)hat{mathbf{i}}+4secleft(frac{pi}{2} ight) hat {mathbf{j}}+5left(frac{pi}{2} ight) hat{mathbf{k}},, ext{ซึ่งไม่มีอยู่} [4pt] vecs rleft(frac{2pi}{3} ight) ; & =3 anleft(frac{2 pi}{3} ight)hat{mathbf{i}}+4secleft(frac{2pi}{3} ight) hat{mathbf{j}}+5left(frac{2pi}{ 3} ight) hat{mathbf{k}} [4pt] & =3(−sqrt{3) })hat{mathbf{i}}+4(−2)hat{mathbf{j}}+frac{10π}{3} hat{mathbf{k}} [4pt] & =(-3sqrt{3})hat{mathbf{i}}−8hat{mathbf{j}}+frac{10π}{3} hat{mathbf{k}}end {align*}]ในการพิจารณาว่าฟังก์ชันนี้มีข้อจำกัดโดเมนหรือไม่ ให้พิจารณาแยกฟังก์ชันคอมโพเนนต์ ฟังก์ชันคอมโพเนนต์แรกคือ (f(t)=3 an t) ฟังก์ชันคอมโพเนนต์ที่สองคือ (g(t)=4sec t) และฟังก์ชันคอมโพเนนต์ที่สามคือ (h(t) =5t). สองฟังก์ชันแรกไม่ได้กำหนดไว้สำหรับทวีคูณคี่ของ (frac{pi}{2}) ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดฟังก์ชันสำหรับทวีคูณคี่ของ (frac{pi}{2}) ดังนั้น [ ext{D}_{vecs r}=Big{t,|,t≠ frac{(2n+1)pi}{2}Big}, onumber ] โดยที่ (n) เป็นจำนวนเต็มใดๆ

แบบฝึกหัด (PageIndex{1})

สำหรับฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t)=(t^2−3t) ,hat{mathbf{i}}+(4t+1) ,hat{mathbf{j}} ) ประเมิน (vecs r(0),, vecs r(1)) และ (vecs r(−4)) ฟังก์ชันนี้มีข้อจำกัดเกี่ยวกับโดเมนหรือไม่?

คำใบ้

แทนที่ค่าที่เหมาะสมของ (t) ลงในฟังก์ชัน

ตอบ:

(vecs r(0) = hat{mathbf{j}},, vecs r(1)=−2 hat{mathbf{i}}+5 hat{mathbf{j}} ,, vecs r(−4)=28 hat{mathbf{i}}−15 hat{mathbf{j}})

โดเมนของ (vecs r(t)=(t^2−3t)hat{mathbf{i}}+(4t+1)hat{mathbf{j}}) เป็นจำนวนจริงทั้งหมด

ตัวอย่าง (PageIndex{1}) แสดงให้เห็นแนวคิดที่สำคัญ โดเมนของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ประกอบด้วยจำนวนจริง โดเมนสามารถเป็นจำนวนจริงทั้งหมดหรือส่วนย่อยของจำนวนจริงได้ พิสัยของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ประกอบด้วยเวกเตอร์ จำนวนจริงแต่ละจำนวนในโดเมนของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ถูกแมปกับเวกเตอร์สองหรือสามมิติ

กราฟฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

จำได้ว่าเวกเตอร์ระนาบประกอบด้วยสองปริมาณ: ทิศทางและขนาด ให้จุดใดจุดหนึ่งในระนาบ (the จุดเริ่มต้น) หากเราเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดระยะทางหนึ่ง เราก็มาถึงจุดที่สอง นี่แสดงถึง represents จุดสิ้นสุด ของเวกเตอร์ เราคำนวณองค์ประกอบของเวกเตอร์โดยลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดปลายทาง

เวกเตอร์ถือว่าอยู่ใน ตำแหน่งมาตรฐาน ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด เมื่อสร้างกราฟฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ โดยปกติเราจะสร้างกราฟของเวกเตอร์ในโดเมนของฟังก์ชันในตำแหน่งมาตรฐาน เพราะการทำเช่นนี้จะรับประกันความเป็นเอกลักษณ์ของกราฟ แบบแผนนี้ใช้กับกราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์สามมิติเช่นกัน กราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ของรูปแบบ

[vecs r(t)=f(t), hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}} onumber ]

ประกอบด้วยชุดของจุดทั้งหมด ((f(t),,g(t))) และเส้นทางที่ติดตามเรียกว่า a เส้นโค้งระนาบ. กราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ของรูปแบบ

[vecs r(t)=f(t) ,hat{mathbf{i}}+g(t) ,hat{mathbf{j}}+h(t) ,hat{ mathbf{k}} ไม่ใช่หมายเลข ]

ประกอบด้วยชุดของจุดทั้งหมด ((f(t),,g(t),,h(t))) และเส้นทางที่ติดตามเรียกว่า a เส้นโค้งอวกาศ. การแสดงเส้นโค้งระนาบหรือเส้นโค้งช่องว่างโดยใช้ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เรียกว่า a การกำหนดพารามิเตอร์เวกเตอร์ ของเส้นโค้ง

เส้นโค้งระนาบและเส้นโค้งอวกาศแต่ละเส้นมี ปฐมนิเทศระบุด้วยลูกศรที่ลากเข้ามาบนเส้นโค้ง ซึ่งแสดงทิศทางการเคลื่อนที่ตามแนวโค้งเมื่อค่าของพารามิเตอร์ (t) เพิ่มขึ้น

ตัวอย่าง (PageIndex{3}) : การสร้างกราฟฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

สร้างกราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์แต่ละฟังก์ชันต่อไปนี้:

  1. เส้นโค้งระนาบที่แสดงโดย (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{j}}), ( 0≤t≤2pi)
  2. เส้นโค้งระนาบแสดงโดย (vecs r(t)=4 cos(t^3) ,hat{mathbf{i}}+3 sin(t^3) ,hat{mathbf{ j}}), (0≤t≤sqrt[3]{2pi})
  3. เส้นโค้งพื้นที่แสดงโดย (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+4 sin t ,hat{mathbf{j}}+t , หมวก{mathbf{k}}), (0≤t≤4pi)

วิธีการแก้

1. เช่นเดียวกับกราฟใดๆ เราเริ่มต้นด้วยตารางค่า จากนั้นเราสร้างกราฟของเวกเตอร์แต่ละตัวในคอลัมน์ที่สองของตารางในตำแหน่งมาตรฐาน และเชื่อมต่อจุดปลายทางของเวกเตอร์แต่ละตัวเพื่อสร้างเส้นโค้ง (รูปที่ (PageIndex{1})) เส้นโค้งนี้กลายเป็นวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

ตาราง (PageIndex{1}): ตารางค่าสำหรับ (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{j}}), (0≤t≤2 pi)
(NS)(vecs r(t))(NS)(vecs r(t))
(0)(4hat{mathbf{i}})(pi)(-4hat{mathbf{i}})
(dfrac{pi}{4})(2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})(dfrac{5pi}{4})(-2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})
(dfrac{pi}{2})(mathrm{3hat{mathbf{j}}})(dfrac{3pi}{2})(mathrm{-3hat{mathbf{j}}})
(dfrac{3pi}{4})( -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})(dfrac{7pi}{4})( 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})
(2pi)(4hat{mathbf{i}})

2. ตารางค่าสำหรับ (vecs r(t)=4 cos(t^3) ,hat{mathbf{i}}+3 sin(t^3) ,hat{ mathbf{j}}), (0≤t≤sqrt[3]{2pi}) เป็นดังนี้:

ตารางค่าสำหรับ (vecs r(t)=4 cos(t^3) ,hat{mathbf{i}}+3 sin(t^3) ,hat{mathbf{j}}) , (0≤t≤sqrt[3]{2pi})
(NS)(vecs r(t))(NS)(vecs r(t))
(0)(mathrm{4hat{mathbf{i}}})(displaystylesqrt[3]{pi})(mathrm{-4hat{mathbf{i}}})
(displaystyle sqrt[3]{dfrac{pi}{4}})(mathrm{ 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})(displaystyle sqrt[3]{dfrac{5pi}{4}})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})
(displaystyle sqrt[3]{dfrac{pi}{2}})(mathrm{3hat{mathbf{j}}})(displaystyle sqrt[3]{dfrac{3pi}{2}})(mathrm{-3hat{mathbf{j}}})
(displaystyle sqrt[3]{dfrac{3pi}{4}})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})(displaystyle sqrt[3]{dfrac{7pi}{4}})(mathrm{ 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})
( displaystylesqrt[3]{2pi})(mathrm{4hat{mathbf{i}}})

กราฟของเส้นโค้งนี้ยังเป็นวงรีที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดด้วย

3. เราทำตามขั้นตอนเดียวกันสำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์สามมิติ

ตารางค่าสำหรับ (mathrm{r(t)= 4 cos t hat{mathbf{i}}+4 sin t hat{mathbf{j}}+t hat{mathbf{k }}}), (mathrm{0≤t≤4pi})
(NS)(vecs r(t))(NS)(vecs r(t))
(mathrm{0})(mathrm{4hat{mathbf{i}}})(mathrm{pi})(mathrm{-4hat{mathbf{i}}}+ pi hat{mathbf{k}})
(dfrac{pi}{4})(mathrm{2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{pi}{4} hat{ mathbf{k}}})(dfrac{5pi}{4})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{5pi}{4} hat {mathbf{k}}})
(dfrac{pi}{2})(mathrm{4hat{mathbf{j}} +frac{pi}{2} hat{mathbf{k}}})(dfrac{3pi}{2})(mathrm{-4hat{mathbf{j}} +frac{3pi}{2} hat{mathbf{k}}})
(dfrac{3pi}{4})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{3pi}{4} hat {mathbf{k}}})(dfrac{7pi}{4})(mathrm{ 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{7pi}{4} hat{ mathbf{k}}})
(mathrm{2pi})(mathrm{4hat{mathbf{j}} + 2pi hat{mathbf{k}}})

จากนั้นค่าจะซ้ำกัน ยกเว้นความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ของ (hat{mathbf{k}}) เพิ่มขึ้นเสมอ ( (PageIndex{3})) เส้นโค้งนี้เรียกว่าเกลียว โปรดสังเกตว่าถ้าองค์ประกอบ (hat{mathbf{k}}) ถูกกำจัด ฟังก์ชันจะกลายเป็น (vecs r(t)=4cos t hat{mathbf{i}}+ 4 sin t hat{mathbf{j}}) ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี 4 ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

คุณอาจสังเกตเห็นว่ากราฟในส่วนก. และข. เหมือนกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากฟังก์ชันที่อธิบายเส้นโค้ง b เป็นสิ่งที่เรียกว่าการปรับพารามิเตอร์ใหม่ของฟังก์ชันที่อธิบายเส้นโค้ง a ในความเป็นจริง เส้นโค้งใด ๆ มีจำนวน reparameterizations ไม่จำกัด; ตัวอย่างเช่น เราสามารถแทนที่ (t) ด้วย (2t) ในสามเส้นโค้งก่อนหน้าโดยไม่ต้องเปลี่ยนรูปร่างของเส้นโค้ง ช่วงเวลาที่ (t) ถูกกำหนดอาจเปลี่ยนแปลง แต่นั่นคือทั้งหมด เรากลับมาที่แนวคิดนี้ในบทนี้เมื่อเราศึกษาการกำหนดพารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้ง ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ชื่อของรูปร่างของเส้นโค้งของกราฟใน (PageIndex{3}) คือ เกลียว. เส้นโค้งคล้ายกับสปริง โดยมีหน้าตัดเป็นวงกลมมองลงมาตามแกน (z)- เป็นไปได้ที่เกลียวจะเป็นวงรีในส่วนตัดขวางเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{mathbf{k}}) อธิบายเกลียววงรี การฉายภาพเกลียวนี้ลงในระนาบ (xy)-เป็นรูปวงรี สุดท้าย ลูกศรในกราฟของเกลียวนี้ระบุทิศทางของเส้นโค้งเมื่อ (t) เคลื่อนจาก (0) ถึง (4π)

แบบฝึกหัด (PageIndex{2})

สร้างกราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+ t^3 , hat{mathbf{j}})

คำใบ้

เริ่มต้นด้วยการสร้างตารางค่า จากนั้นสร้างกราฟจุดที่ระบุโดยเวกเตอร์สำหรับแต่ละค่าของ (t)

ตอบ

ณ จุดนี้ คุณอาจสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างฟังก์ชันค่าเวกเตอร์และเส้นโค้งที่มีพารามิเตอร์ อันที่จริง ให้ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}}) เราสามารถกำหนด (x=f(t)) และ (y=g(t)) กราฟของฟังก์ชันค่าพารามิเตอร์จะเห็นด้วยกับกราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ยกเว้นว่ากราฟของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์จะถูกตรวจสอบโดยเวกเตอร์ แทนที่จะเป็นเพียงการรวบรวมจุด เนื่องจากเราสามารถกำหนดพารามิเตอร์เส้นโค้งที่กำหนดโดยฟังก์ชัน (y=f(x)) ได้ จึงเป็นไปได้ที่จะแสดงเส้นโค้งระนาบตามอำเภอใจด้วยฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

การค้นหาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เพื่อติดตามกราฟของฟังก์ชัน (y = f(x))

ดังที่คุณเห็นในตัวอย่างด้านบน ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์จะลากเส้นโค้งในระนาบหรือในอวกาศ จะเป็นอย่างไรถ้าเราต้องการเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่ติดตามกราฟของเส้นโค้งเฉพาะในระนาบ (xy)-?

กราฟของฟังก์ชันใดที่ตรวจสอบโดยฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ในแบบฝึกหัด (PageIndex{2}) ด้านบน: (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+ t^3 ,hat{mathbf{j}})? ดูเหมือนกราฟของ ( y = x^3) ใช่ไหม

เมื่อนึกถึงสิ่งที่เพิ่งพูดเกี่ยวกับองค์ประกอบของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสมการพาราเมติกของเส้นโค้งแบบกำหนดพารามิเตอร์ เราจะเห็นว่าในที่นี้เรามี:

[egin{align*} x &= t y &= t^3end{align*} onumber]

เนื่องจาก (x = t) เราสามารถแทนที่ (t) ในสมการ ( y = t^3) ด้วย (x) ให้ฟังก์ชัน: ( y = x^3) .

ดังนั้นเราจึงเดาได้ถูกต้อง

เราจะเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เพื่อติดตามกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร ( y = f(x))

มีสองทิศทางที่ต้องพิจารณา: ซ้ายไปขวา และ จากขวาไปซ้าย.

การติดตามฟังก์ชันจากซ้ายไปขวา:

ในการติดตามกราฟของ ( y = f(x)) จากซ้ายไปขวา ให้ใช้: (vecs r(t) = t ,hat{mathbf{i}}+ f(t ) ,hat{mathbf{j}})

โปรดทราบว่าสิ่งที่สำคัญในที่นี้คือต้องมีคอมโพเนนต์ (x) เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจะทำงาน เราสามารถใช้ (x = t^3) เป็นต้น แต่แล้วเราจะต้องจำไว้ว่าให้แทนที่ (x) ในฟังก์ชัน (f(x)) ด้วยนิพจน์นี้ (t^3) ให้เรา (y = f(t^3)) . ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน (y = f(x) ) สามารถกำหนดพารามิเตอร์จากซ้ายไปขวาได้ด้วยฟังก์ชันค่าเวกเตอร์: (vecs r(t) = t^3 ,hat{mathbf {i}}+ f(t^3) ,hat{mathbf{j}})

การติดตามฟังก์ชันจากขวาไปซ้าย:

ในการติดตามกราฟของ ( y = f(x)) จากขวาไปซ้าย ให้ใช้: (vecs r(t) = -t ,hat{mathbf{i}}+ f( -t) ,hat{mathbf{j}})

ขอย้ำอีกครั้งว่าเราสามารถใช้ฟังก์ชันใด ๆ ที่ลดลงของ (t) สำหรับส่วนประกอบ (x) และรับฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่ติดตามกราฟของ (y = f(x) ) จากขวาไป -ซ้าย. การใช้ (x = -t) เป็นเพียงฟังก์ชันการลดที่ง่ายที่สุดที่เราสามารถเลือกได้

ตัวอย่าง (PageIndex{4}): ค้นหาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เพื่อติดตามกราฟของ (y = f(x))

กำหนดฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่จะติดตามกราฟของ (y = cos x) จากซ้ายไปขวา และอีกอันเพื่อติดตามจากขวาไปซ้าย

วิธีการแก้

ซ้ายไปขวา: (vecs r(t) = t ,hat{mathbf{i}}+ cos t ,hat{mathbf{j}})

จากขวาไปซ้าย: (vecs r(t) = -t ,hat{mathbf{i}}+ cos (-t) ,hat{mathbf{j}})

การค้นหาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เพื่อติดตามกราฟของสมการใน (x) และ (y) และในทางกลับกัน

จะเป็นอย่างไรถ้าเราต้องการหาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เพื่อติดตามกราฟของวงกลม วงรี หรือไฮเพอร์โบลา ด้วยสมการโดยปริยาย

โปรดทราบว่าในตัวอย่าง (PageIndex{3}) ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{j}}) ติดตามกราฟของวงรี (frac{x^2}{16} + frac{y^2}{9} = 1)

ในฟังก์ชันค่าเวกเตอร์นี้ เราจะเห็นว่า: [x = 4cos t quad ext{and} quad y = 3sin t]

สิ่งที่เราต้องการในตอนนี้คือวิธีการแปลงสมการนี้เป็นสมการโดยปริยายที่เกี่ยวข้องกับ (x) และ (y) ในการทำสิ่งนี้ให้สำเร็จ จำเอกลักษณ์ของพีทาโกรัส [cos^2 t + sin^2 t = 1]

ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือแก้สมการข้างต้นสำหรับ (cos t) และ (sin t) และเราสามารถแทนที่ตัวตนนี้เพื่อให้ได้สมการใน (x) และ (y) .

ดังนั้น: [cos t = frac{x}{4} quad ext{and} quad sin t = frac{y}{3} ]

การแทนที่ข้อมูลระบุตัวตนทำให้เรา: [ left( frac{x}{4} ight)^2 + left( frac{y}{3} ight)^2 = 1]

การลดความซับซ้อนของสมการโดยนัยนี้ทำให้เราได้สมการโดยปริยายของวงรีในตัวอย่าง (PageIndex{3}) ที่เราเขียนไว้ด้านบน:

[frac{x^2}{16} + frac{y^2}{9} = 1]

หากต้องการไปทางอื่นและค้นหาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่ลากเส้นวงรี เราต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้ในทิศทางตรงกันข้าม!

ตัวอย่าง (PageIndex{5}): การเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์สำหรับวงกลม วงรี หรือไฮเพอร์โบลาที่กำหนด

เขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่ติดตามเส้นโค้งโดยนัยแต่ละเส้นต่อไปนี้:

NS. วงรี: (frac{x^2}{16} + frac{y^2}{9} = 1)

NS. วงกลม: (x^2 + y^2 = 4)

ค. ไฮเปอร์โบลา: (frac{x^2}{25} - frac{y^2}{16} = 1)

วิธีการแก้

NS. ลองใช้กระบวนการที่แสดงด้านบนย้อนกลับ อันดับแรก ให้เขียนสมการโดยปริยายใหม่เพื่อให้แสดงผลรวมของปริมาณกำลังสองเท่ากับหนึ่ง

[ left( frac{x}{4} ight)^2 + left( frac{y}{3} ight)^2 = 1 onumber]

ตอนนี้เราต้องการข้อมูลประจำตัวที่เราใช้ด้านบน (cos^2 t + sin^2 t = 1)

การทำให้ส่วนที่เท่ากันกำลังสอง (โปรดทราบว่าเรามีทางเลือกที่นี่ว่าจะทำ (cos t) และส่วนไหนที่จะทำให้ (sin t)) เราได้รับ:

[ frac{x}{4} = cos t quad ext{and} quad frac{y}{3} = sin t onumber]

ตอนนี้เราแค่ต้องแก้หา (x) และ (y)

[x = 4cos t quad ext{and} quad y = 3sin t onumber]

ตอนนี้เราสามารถเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่ติดตามวงรีนี้: (vecs r(t) = 4cos t,hat{mathbf{i}}+ 3sin t ,hat{ mathbf{j}})

โปรดทราบว่าเราสามารถเขียน (vecs r(t) = 4sin t,hat{mathbf{i}}+ 3cos t ,hat{mathbf{j}}), เนื่องจากเราสามารถเลือกที่จะเปลี่ยน (sin t) และ (cos t) ด้านบนได้ มันจะวาดวงรีวงรีเดียวกัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม

NS. การติดตามวงกลมนั้นค่อนข้างตรงไปตรงมา ไม่ต้องการกระบวนการที่เราแสดงไว้ข้างต้นจริงๆ แม้ว่ามันอาจจะยังมีประโยชน์ในตอนแรกก็ตาม โปรดจำไว้ว่าเวกเตอร์ทั้งหมดบนวงกลมหนึ่งหน่วยสามารถแสดงในรูปแบบ: (vecs v = cos heta , hat{mathbf{i}} + sin heta , hat{mathbf{ NS}}).

ดังนั้นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r(t) = cos t,hat{mathbf{i}}+ sin t ,hat{mathbf{j}}) จะติดตาม ออกจากวงกลมหน่วยด้วยสมการ (x^2 + y^2 = 1)

เพื่อให้ได้วงกลมรัศมี (2) ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด (ซึ่งก็คือกราฟของ (x^2 + y^2 = 4)) เราแค่ต้องคูณผ่านฟังก์ชันค่าเวกเตอร์นี้ด้วยสเกลาร์ ตัวประกอบของ (2)

ดังนั้น ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่จะติดตามวงกลมนี้คือ: (vecs r(t) = 2cos t,hat{mathbf{i}}+ 2sin t ,hat{ mathbf{j}})

โปรดสังเกตอีกครั้งว่าความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งคือ: (vecs r(t) = 2sin t,hat{mathbf{i}}+ 2cos t ,hat{mathbf{j}}) มันจะลากเส้นวงกลมเดียวกัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม

ในการใช้เทคนิคข้างต้น คุณต้องเริ่มต้นด้วยการหารแต่ละเทอมในสมการด้วยกำลังสองของรัศมี ในที่นี้ 4 แล้วใส่สมการวงกลมใน "รูปแบบวงรี" ขั้นตอนที่เหลือเป็นไปตามรูปแบบที่แสดงในส่วน a.

ค. เพื่อติดตามไฮเปอร์โบลาของแบบฟอร์ม (frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1) หรือ (frac{y^2}{ a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1) เราจำเป็นต้องค้นหาตัวตนตรีโกณมิติที่แสดงผลความแตกต่างของสี่เหลี่ยมสองช่องเท่ากับ 1 หากคุณยังไม่ได้จดจำข้อมูลประจำตัวดังกล่าว เราสามารถหาได้จากเอกลักษณ์ของพีทาโกรัสที่ใช้ข้างต้น นั่นคือ,

[cos^2 t + sin^2 t = 1 ไม่ใช่ตัวเลข]

หารแต่ละเทอมด้วย (cos^2 t)

[frac{cos^2 t}{cos^2 t} + frac{sin^2 t}{cos^2 t} = frac{1}{cos^2 t} onumber ]

อัตราผลตอบแทน

[1+ an^2 t = sec^2 t ไม่ใช่ตัวเลข]

การเขียนสมการนี้ใหม่ทำให้เรามีตัวตนที่เราต้องการ:

[sec^2 t - an^2 t = 1 ไม่ใช่ตัวเลข]

ทีนี้ สมการของไฮเพอร์โบลานี้คือ:

[frac{x^2}{25} - frac{y^2}{16} = 1 onumber]

เขียนด้านซ้ายใหม่เพื่อแสดงปริมาณที่เป็นกำลังสอง:

[left(frac{x}{5} ight)^2 - left(frac{y}{4} ight)^2 = 1 onumber]

จากนั้นเราสามารถหาค่าพจน์ที่สอดคล้องกันของนิพจน์กำลังสองได้:

[frac{x}{5} = sec t quad ext{and} quad frac{y}{4} = an t onumber]

การแก้หา (x) และ (y) เรามี:

[x = 5sec t quad ext{and} quad y = 4 an t onumber]

ดังนั้น ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่จะติดตามไฮเปอร์โบลา [frac{x^2}{25} - frac{y^2}{16} = 1] คือ [vecs r(t) = 5 sec t,hat{mathbf{i}}+ 4 an t ,hat{mathbf{j}}. ไม่ใช่ตัวเลข]

การกำหนดพารามิเตอร์เส้นทางทีละชิ้น

มีบางครั้งที่จำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์เส้นทางที่ประกอบขึ้นจากส่วนโค้งต่างๆ เส้นทางทีละส่วนนี้อาจเปิดหรือสร้างขอบเขตของพื้นที่ปิด เช่นเดียวกับตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ (PageIndex{4}) นอกเหนือจากการกำหนดฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เพื่อติดตามแต่ละส่วนแยกกัน ด้วยการวางแนวที่ระบุ เรายังต้องกำหนดช่วงของค่าที่เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์ (t)

โปรดทราบว่ามีหลายวิธีในการกำหนดพารามิเตอร์ชิ้นใดชิ้นหนึ่ง ดังนั้นจึงมีวิธีที่ถูกต้องหลายวิธีในการกำหนดพารามิเตอร์พาธด้วยวิธีนี้

ตัวอย่าง (PageIndex{6}): การกำหนดพารามิเตอร์เส้นทางทีละส่วน

กำหนดพารามิเตอร์ทีละส่วนของพาธที่แสดงในรูป (PageIndex{4}) เริ่มต้นด้วย (t=0) และดำเนินการต่อในแต่ละส่วน

วิธีการแก้

งานแรกของเราคือการระบุสามส่วนในเส้นทางทีละส่วนนี้

โปรดทราบว่าเราติดป้ายกำกับเหล่านี้ตามลำดับเป็น (vecs r_1), (vecs r_2) และ (vecs r_3) ตอนนี้ เราต้องระบุฟังก์ชันสำหรับแต่ละรายการและเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันด้วยการวางแนวที่ถูกต้อง (ซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้าย)

กำหนด (vecs r_1): สมการของฟังก์ชันเชิงเส้นในส่วนนี้คือ (y = x)

เนื่องจากมันถูกวางจากซ้ายไปขวาระหว่าง (t = 1) และ (t = 4) เราสามารถเขียน:

[vecs r_{1a}(t) = t,hat{mathbf{i}}+ t ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad 1 le t le 4 ไม่ใช่หมายเลข]

หากเราต้องการเริ่มงานชิ้นนี้ที่ (t = 0) เราเพียงแค่เปลี่ยนค่าของ (t) ไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือเขียน (vecs r_{1a}) ในรูปของ (t_1) แทน (t) เพื่อให้ดูคำแปลได้ง่ายขึ้น

ดังนั้น เรามี (vecs r_{1a}(t_1) = t_1,hat{mathbf{i}}+ t_1 ,hat{mathbf{j}}) สำหรับ (1le t_1 le 4).

รูป (PageIndex{4}): เส้นทางที่ปิดเป็นชิ้นๆ

การลบ (1) ออกจากแต่ละส่วนของช่วงค่าพารามิเตอร์นี้ เรามี: (0 le t_1 - 1 le 3)

ตอนนี้เราปล่อยให้ (t = t_1 - 1) แก้หา (t_1) เราได้รับ: (t_1 = t + 1)

การแทนที่ (t_1) ด้วยนิพจน์ (t + 1) จะเปลี่ยนช่วงของค่าพารามิเตอร์ไปทางซ้ายอย่างมีประสิทธิภาพหนึ่งหน่วย

ดังนั้น เริ่มต้นด้วย (t = 0) เรามี: [vecs r_1(t) = (t+1),hat{mathbf{i}}+ (t+1) ,hat {mathbf{j}} quad ext{for}quad 0 le t le 3 onumber]

ตรวจสอบอีกครั้งว่าฟังก์ชันค่าเวกเตอร์นี้จะติดตามเซ็กเมนต์นี้ในทิศทางที่ถูกต้องก่อนไปยัง (r_2)

กำหนด (vecs r_2): ชิ้นนี้มีป้ายกำกับแสดงฟังก์ชันที่มีกราฟตามรอย หากเรียงจากซ้ายไปขวา เราจะมี:

[ ext{ซ้ายไปขวา:}quadvecs r_{2a}(t) = t,hat{mathbf{i}}+ left(2sqrt{frac{4-t }{3}}+4 ight) ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad 1 le t le 4 onumber]

แต่เนื่องจากเราต้องการให้จัดตำแหน่งจากขวาไปซ้าย เราจึงต้องแทนที่ (t) ด้วย (-t) ในฟังก์ชัน และเราต้องหารผ่านความไม่เท่าเทียมกันของช่วงด้วย -1 เพื่อให้ได้ค่าที่สอดคล้องกัน แนว. ดังนั้นเราจึงได้รับ:

[vecs r_{2b}(t) = -t,hat{mathbf{i}}+ left(2sqrt{frac{4-(-t)}{3}}+4 ขวา) ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad -4 le t le -1 onumber]

ตรวจสอบว่าใช้งานได้!

ตอนนี้เราต้องการให้ชิ้นนี้เริ่มต้นที่ (t = 3) หลังจากชิ้นแรกเสร็จสิ้น เรามาทำให้สิ่งนี้ดูง่ายขึ้นโดยการเขียน (r_{2b}) ในแง่ของ (t_2)

[vecs r_{2b}(t_2) = -t_2,hat{mathbf{i}}+ left(2sqrt{frac{4-(-t_2)}{3}}+4 ขวา) ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad -4 le t_2 le -1 onumber]

เพื่อบังคับให้ (r_2) เริ่มต้นด้วย (t = 3) แทน (t = -4) เราจำเป็นต้องเพิ่ม (7) ในแต่ละส่วนของอสมการ ผลลัพธ์นี้: (3 le t_2 + 7 le 6)

ให้ (t = t_2 + 7) จากนั้นแก้หา (-t_2) (เนื่องจากนี่คือสิ่งที่เราต้องแทนที่ใน (r_{2b})) เรามี: (t_2 = 7-t)

แทนที่ (-t_2) ด้วย (left(7-t ight)) ใน (vecs r_{2b}) เราได้รับ:

[vecs r_{2}(t) = (7-t),hat{mathbf{i}}+ left(2sqrt{frac{4-(7-t)}{3} }+4 ight) ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad 3 le t le 6 onumber]

สามารถรวมกับผลลัพธ์ก่อนหน้าของเราสำหรับ (r_1) เพื่อเขียนฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นชิ้นๆ ซึ่งติดตามสองส่วนแรก โดยเริ่มต้นที่ (t = 0):

[vecs r(t) = egin{cases}
(t+1),hat{mathbf{i}} + (t+1) ,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 3
(7-t),hat{mathbf{i}} + left(2sqrt{frac{t - 3}{3}}+4 ight) ,hat{mathbf{j} }, & 3 lt tle 6
end{cases} onumber]

โปรดทราบว่ามีการดัดแปลงเล็กน้อยในช่วงที่สองเพื่อที่ว่าเมื่อ (t = 3) จะไม่เกิดความสับสนว่าจะประเมินชิ้นส่วนใด

กำหนด (vecs r_3): ในการตัดสินชิ้นสุดท้ายนี้ เราต้องคิดให้ต่างออกไปเล็กน้อย เนื่องจากเป็นส่วนแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงด้วยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม (y = f(x)) โปรดทราบว่ามันสามารถแสดงด้วยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม (x = f(y)) ปล่อยให้ (y = t) เราสามารถเขียน (x = f(t)) และเขียนพารามิเตอร์ในการเพิ่มค่า (y) (จากล่างขึ้นบน) เราจะได้: ( vecs r(t) = f(t) ,hat{mathbf{i}} + t ,hat{mathbf{j}}).

สมการของเส้นนี้คือ (x = 1) ดังนั้น หากเราต้องการกำหนดพารามิเตอร์ส่วนนี้ด้วยการวางแนวขึ้น (ค่าที่เพิ่มขึ้นของ (y)) เรามี:

[vecs r_{3a}(t) = 1,hat{mathbf{i}}+ t ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad 1 le t le 6 ไม่ใช่หมายเลข]

แต่เนื่องจากเราต้องการใช้การวางแนวลง (ลดค่าของ (y)) เราจึงจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันการลดของ (t) สำหรับ (y) เช่นเคย กรณีที่ง่ายที่สุดคือการใช้ (y = -t) จากนั้น ในกรณีทั่วไป เราจะติดตามฟังก์ชัน (x = f(y)) ในทิศทางลงด้วย (vecs r(t) = f(-t) ,hat{mathbf{ i}} - t ,hat{mathbf{j}})

ในกรณีของ (r_3) สิ่งนี้ทำให้เรา:

[vecs r_{3b}(t) = 1,hat{mathbf{i}}- t ,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad -6 le t le -1 onumber]

โปรดทราบว่าตั้งแต่ (x = 1, , f(-t) = 1) นั่นคือ มันไม่ได้เปลี่ยนองค์ประกอบแรกเนื่องจากเป็นค่าคงที่และไม่ใช่ฟังก์ชันตัวแปรของพารามิเตอร์ (t)

โปรดทราบด้วยว่าเนื่องจากเราลบล้าง (t) เราจึงต้องลบล้างช่วงด้วย โดยหารด้วย (-1)

ดังที่กล่าวมา เพื่อความสะดวกในการแปล เราจะแทนที่ (t) ด้วย (t_3) โดยให้:

[vecs r_{3b}(t) = 1,hat{mathbf{i}}- t_3,hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad -6 le t_3 le -1 ไม่ใช่หมายเลข]

ตอนนี้ เราหวังว่าชิ้นสุดท้ายนี้จะเริ่มต้นที่ (t = 6) โดยที่ชิ้นที่สองที่เราสร้างขึ้นด้านบนจะหลุดออกไป เราเห็นว่าเราต้องเพิ่ม (12) ให้กับช่วงของพารามิเตอร์ (t) เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ ทำให้เราได้ช่วงใหม่ของ (6 le t_3 + 12 le 11)

ให้ (t = t_3 + 12) จากนั้นแก้หา (-t_3) (เนื่องจากนี่คือสิ่งที่เราต้องแทนที่ใน (r_{3b})) เรามี: (t_3 = 12-t)

แทนที่ (-t_3) ด้วย (left(12-t ight)) ใน (vecs r_{3b}) เราได้รับ:

[vecs r_{3}(t) = 1,hat{mathbf{i}} + (12 - t),hat{mathbf{j}} quad ext{for}quad 6 le t_3 le 11 ไม่ใช่หมายเลข]

ตรวจสอบว่าสิ่งนี้ยังคงติดตามส่วนแนวตั้งนี้จากบนลงล่าง

ขณะนี้ เราสามารถระบุคำตอบสุดท้ายเป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ที่กำหนดทีละชิ้น ซึ่งติดตามเส้นทางทั้งหมดนี้ โดยเริ่มต้นเมื่อ (t = 0)

[vecs r(t) = egin{cases}
(t+1),hat{mathbf{i}} + (t+1) ,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 3
(7-t),hat{mathbf{i}} + left(2sqrt{frac{t - 3}{3}}+4 ight) ,hat{mathbf{j} }, & 3 lt tle 6
1,hat{mathbf{i}} + (12 - t),hat{mathbf{j}} & 6 lt t_3 le 11
end{cases} onumber]

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เดียวนี้ติดตามเส้นทางทั้งหมดได้อย่างแท้จริง!

ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ตอนนี้เรามาดูลิมิตของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจในการศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

คำนิยาม: ลิมิตของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (vecs r) เข้าใกล้ขีดจำกัด (vecs L) เมื่อ (t) เข้าใกล้ (a), เขียนไว้

[lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs L,]

ให้

[lim limits_{t o a} ig| vecs r(t) - vecs L ig| = 0.]

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราแสดงวิธีการคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ตัวอย่าง (PageIndex{7}): การประเมินขีดจำกัดของฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

สำหรับแต่ละฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ต่อไปนี้ ให้คำนวณ (lim limits_{t o 3}vecs r(t)) สำหรับ

  1. (vecs r(t)=(t^2−3t+4) hat{mathbf{i}}+(4t+3)hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=frac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+frac{t}{t^2+1} hat{mathbf{j }}+(4t−3) hat{mathbf{k}})

วิธีการแก้

  1. ใช้สมการ ef{Th1} และแทนที่ค่า (t=3) ลงในนิพจน์สององค์ประกอบ:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3} left[(t^2−3t+4) hat{mathbf{i}} + (4t+3) hat{mathbf{j}} ight ] [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} (t^2−3t+4) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_ {t o 3} (4t+3) ight] hat{mathbf{j}} [5pt] & = 4 hat{mathbf{i}}+15 hat{mathbf{j} } end{จัดตำแหน่ง*}]

  1. Use Equation ef{Th2} and substitute the value (t=3) into the three component expressions:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3}left(dfrac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+dfrac{t}{t^2+1}hat{mathbf{j}}+(4t−3) hat{mathbf{k}} ight) [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{2t−4}{t+1} ight) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{t}{t^2+1} ight) ight] hat{mathbf{j}} +left[lim limits_{t o 3} (4t−3) ight] hat{mathbf{k}} [5pt] & = frac{1}{2} hat{mathbf{i}}+ frac{3}{10}hat{mathbf{j}}+9 hat{mathbf{k}} end{align*}]

แบบฝึกหัด (PageIndex{3})

Calculate (lim limits_{t o 2} vecs r(t)) for the function (vecs r(t) = sqrt{t^2 + 3t - 1},hat{mathbf{i}}−(4t-3),hat{mathbf{j}}− sin frac{(t+1)pi}{2},hat{mathbf{k}})

Hint

Use Equation ef{Th2} from the preceding theorem.

ตอบ

[lim limits_{t o 2} vecs r(t) = 3hat{mathbf{i}}−5hat{mathbf{j}}+hat{mathbf{k}}]

Now that we know how to calculate the limit of a vector-valued function, we can define continuity at a point for such a function.

Definitions

Let (f), (g), and (h) be functions of (t). Then, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

Similarly, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

สรุป

  • A vector-valued function is a function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+ g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}), where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).
  • The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) is called a plane curve. The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}) is called a space curve.
  • It is possible to represent an arbitrary plane curve by a vector-valued function.
  • To calculate the limit of a vector-valued function, calculate the limits of the component functions separately.

สมการสำคัญ

  • Vector-valued function
    (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}),or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t)⟩) or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩)

  • Limit of a vector-valued function
    (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}}) or (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} + [lim limits_{t o a} h(t)] hat{mathbf{k}})

อภิธานศัพท์

component functions
the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) are (f(t)) and (g(t)), and the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) are (f(t)), (g(t)) and (h(t))
helix
a three-dimensional curve in the shape of a spiral
limit of a vector-valued function
a vector-valued function (vecs r(t)) has a limit (vecs L) as (t) approaches (a) if (lim limits{t o a} left| vecs r(t) - vecs L ight| = 0)
plane curve
the set of ordered pairs ((f(t),g(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)) and (y=g(t))
reparameterization
an alternative parameterization of a given vector-valued function
space curve
the set of ordered triples ((f(t),g(t),h(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)), (y=g(t)) and (z=h(t))
vector parameterization
any representation of a plane or space curve using a vector-valued function
vector-valued function
a function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}),where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).

Contributors

  • Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) with many contributing authors. This content by OpenStax is licensed with a CC-BY-SA-NC 4.0 license. Download for free at http://cnx.org.

  • Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Paul Seeburger created Example (PageIndex{1}), Exercise (PageIndex{1}), and the subsections titled: Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of a Function (y = f(x)), Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of an Equation in (x) and (y) and Vice Versa, and Parameterizing a Piecewise Path.

12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

Math 211 Calculus IIIA
Instructor:
S. Levkov
Text: Thomas and Finney, Calculus, 9th edition, Addison Wesley
Time:
Monday, Wednesday 6:00 9:00 PM.
Office Hours:
Monday, Wednesday 5:00 6:00 PM. Office: 303 ECE.
Phone:
973 596 5621. E-mail: [email protected]

Week 1
Sec 9.4 Parametrization of Plane Curves - HW p741 #1,7-10,12-15,20,23,26-28
Sec 9.5 Calculus with Parametrized Curves - HW p749 #1-3,5,13,15,17,23,33,38

Sec 10.1 Vectors in the Plane - HW p 794 #1-4,7,9,11,13,15,17-19,21,24,26,30,40,41
Sec 10.2 Vectors in Space - HW p 804 #1,5,7,9,12, 15,19,20,27,33,49

Week 2
Sec 10.3 Dot Products - HW p8l2 #1,3,5,13,16,20,22,35,39,41,49,51,53,59
Sec 10.4 Cross Products - HW p820 #1,3,9,10,17,29,35,39,42

Sec 10.5 Lines and Planes in Space - HW p827

Week 3
Sec 11.1 Vector-Valued Functions and Space Curves - HW p865

#1,7,10,13,16,21,22,27,32,35,39,43,45, and read 57

Sec 11.3 Arc Length and the Unit Tangent Vector - HW p880 #1,6,8,15

Sec 12.1 Functions of Several Variables - HW p9l4 #3,6,11,25,31,32,41,45
Sec 12.2 Limits and Continuity - HW p921 #1-4,9,11,15,22,28,35

Week 4
Sec 12.3 Partial Derivatives - HW p931

#2,4,8,14,16,23,26,30,37,43,45,49,50,53,57,59,65,69
Sec 12.5 The Chain Rule - HW p950 #3,7,15,19,27,32,35,43,47

Sec 12.6 Partial Derivatives with Constrained Variables- HW p956 #3,7,11 and then 9
MIDTERM

Week 5
Sec 12.7 Directional Derivatives, Gradient Vectors and Tangent Planes - HW p967

#3,7,15,19,25,27,34,39,45,49,51,55,58 AND p942 #1,5,25,27

(Note that HW includes Linearization of Sec 12.4)

Sec 12.8 Extreme Values and Saddle Points - HW p975 #3,15,20,33,37,41,43,50,52

Sec 12.9 Lagrange Multipliers - HW p987 #3,7,10,15,17,25,32,35,37,42

Week 6
Sec 13.1 Double Integrals - HW p1010 #1,2,6,13,18,22,27,31,36,43,47,51

Sec 14.1 Line Integrals - HW p1065 #5,11,12,18,20,25,26
Sec 14.2 Vector Fields, Work, Circulation and Flux - HW p1074

Week 7
Sec 14.3 Path Independence, Potential Functions and Conservative Fields

- HW p1O83 #2,4,10,14,16,19,23,27,29,31
Sec 14.4 Green's Theorem in the Plane - HW p1093 #1,6,9,13,16,19,21,31,34
Sec 14.8 The Divergence Theorem and a Unified Theory - HW p1132 #3,5,6,8,13,15,26


2 คำตอบ 2

The difference is that a parametrization has some extra properties. A vector valued function is a map $f:Usubsetmathbb R^m o Vsubsetmathbb R^n$

And parametric equations for a [portion of a] submanifold $M$ in Euclidean space (it's rare to parametrize things other than manifolds) is a map $varphi:Usubsetmathbb R^m o Msubsetmathbb R^n$ Where:

  • $U$ is open
  • $varphi$ is a homeomorphism onto its image
  • $operatornameDvarphi = m$ everywhere

What we could say then, is that a parametrization is always in the form of a vector valued function, but conversely, we use vector valued functions with nice properties to parametrize varieties.


Evaluating and Graphing Vector-Valued Functions

y (b) Figure 12.1.1: Sketching the graph of a vector-valued function.

Evaluating a vector-valued function at a specific value of t is straightforward simply evaluate each component function at that value of t . For instance, if r → ⁢ ( t ) = ⟨ t 2 , t 2 + t - 1 ⟩ , then r → ⁢ ( - 2 ) = ⟨ 4 , 1 ⟩ . We can sketch this vector, as is done in Figure 12.1.1 (a). Plotting lots of vectors is cumbersome, though, so generally we do not sketch the whole vector but just the terminal point. The graph of a vector-valued function is the set of all terminal points of r → ⁢ ( t ) , where the initial point of each vector is always the origin. In Figure 12.1.1 (b) we sketch the graph of r → we can indicate individual points on the graph with their respective vector, as shown.

Vector-valued functions are closely related to parametric equations of graphs. While in both methods we plot points ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) ) or ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) , z ⁢ ( t ) ) to produce a graph, in the context of vector-valued functions each such point represents a vector. The implications of this will be more fully realized in the next section as we apply calculus ideas to these functions.

Watch the video:
Domain of a Vector-Valued Function from https://youtu.be/Djtttm0C7zA


12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

The topics on this page are vector functions and space curves.

A function whose domain is a set of real numbers and whose range is a subset of 2-space (or called plane), or 3-space is called a vector-valued function of a real variable. For example, the line through a point P parallel to a nonzero vector U is the range of the vector-valued function r given by

Each t corresponds to a point, which can be thinked as a vector initiating from the origin and tip pointing at the point, in the straight line. See the graph below. Usually a vector-valued function in 2-space (resp. 3-space) has two component functions (resp. three component functions). Such as the staight line vector function in 2-space and 3-space can be written as

where point (a, b) (or (a, b, c)) is a point that the line passes through and (u1, u2) (or (u1, u2, u3)) is a vector parallel to the line. The graph above is of the vector function of the straight line r (t) = t i + (-0.6t + 2) j = 2 j + t( i - 0.6 j ). Second expression shows that r passes through point (0, 2) and is parallel to vector (1,-0.6).

If the point (x, y, z) revolves around z-axis at a distance a from it and simultaneously moves parallel to z-axis in such a way that its z-component is proportional to the angle of revolution, the resulting path is called circular helix . If t denotes the angle of revolution, we have

The uaual operations of vectors can be applied to combined two vector functions or to combine a vector function with a real-valued function. If U and V are vector-valued functions, and if f is a real-valued function, all having a common domain, we define new functions U + V, fU, and U dot V by the equations


Math 215 Examples

NS vector-valued function is a function that outputs a vector rather than a single number. Often we will be working with functions whose outputs are vectors in three-dimensional space. Such a function can be written as [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle ] where (f(t)), (g(t)), and (h(t)) are usual functions whose outputs are single numbers (sometimes called scalar functions in contrast with vector-valued functions).

Space Curves

A vector-valued function (vec r(t)) whose values are three-dimensional functions traces out a space curve, a curve in three-dimensional space.

For example, [ vec r(t) = leftlangle t, frac<18>,frac <3> ight angle ] traces out a space curve called a twisted cubic:

Vector-valued functions don't always trace out smooth curves. For example, [ vec r(t) = leftlangle frac<30>, frac<10>, frac <5> ight angle ] has a sharp corner at the point (vec r(0) = langle 0, 0, 0 angle):

Different Parameterizations

Note that two different vector-valued functions may trace out the same curve. We say that two such vector-valued functions corresponding to the same curves are different parameterizations of the same curve.

Given any vector-valued function (vec r(t)), it is easy to construct different parameterizations of the same curve: just use (vec s(t) = vec r(at)) for any non-zero constant (a).

For example, suppose we have [egin vec r(t) &= langle (2+sin<3t>)cos, (2+sin<3t>)sin, cos <3t> angle vec s(t) &= langle (2+sin<6t>)cos<2t>,(2+sin<6t>)sin<2t>, cos <6t> angle. จบ] Notice that (vec s(t) = vec r(2t)), so as observed above, both these vector-valued functions will trace out the same space curve (a curve called a toroidal spiral):

Illustrated Example

Find a vector-valued function that traces out the curve defined as the intersection of the paraboloid (z=x^2+y^2) with the plane (y=x).

Worked Solution

Since every equation in this problem is a function of (x), we can use (x) itself as our parameter. In other words, in our eventual parameterization [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle, ] we can set (x(t) = t).

Since our curve lies entirely in the plane (y=x), it follows that (y(t) = x(t)) in our parameterization, or (y(t) = t). Since the curve lies on the paraboloid (z = x^2 + y^2), we similarly have [ z(t) = x(t)^2 + y(t)^2 = 2t^2. ]

Thus our final parameterization of this curve is [ vec r(t) = langle t, t, 2t^2 angle. ]

Visualizing the Example

The animation below shows the paraboloid (z=x^2+y^2) with (vec r(t) = langle t, t, 2t^2) tracing out its intersection with the plane (y=x):

Further Questions

  1. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve half as fast.
  2. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve backwards.
  3. What curve does (vec r(t) = langle t, -t, 2t^2 angle) trace out?
  4. In the animation in Key Concepts with two different parameterizations, which of (vec r(t)) and (vec s(t)) is represented by the blue arrows? Which is represented by the red arrows?

Using the Mathematica Demo

All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 13_1SpaceCurves.nb.

This notebook generates images and animations like those on this page for any curve.

As an exercise, use the notebook to provide a visual demonstration illustrating your answers to Questions 1-3.

Investigate other vector-valued funtions (vec r(t)). Can you find one that traces out a circle? A helix? Can you find one with a sharp corner somewhere other than the origin? Experiment with functions that yield sharp corners can you figure out what causes them?


CalcPlot3D¶

A useful tool for graphing vector functions and other kinds of 3D objects. Although this applet was created for use in calculus classes, it is useful to us as well. Use the following procedure to graph a vector function in CalcPlot3D.

  1. Erase the default shape that appears, by unchecking the box next to Function 1 and clicking the Graph button immediately above it.
  2. Add a parametric curve by clicking the Graph menu and choosing Add a Space Curve.
  3. In the three blanks provided, enter the x , y , and z components of the vector function, using t as the parameter. The default bounds for t (from -10 to 10 ) may be sensible for your function, but you can change them.
  4. Click Graph (on the popup window into which you typed the parametric equations).
  5. Click and drag to view from different angles.

A powerful mathematics tool that you can use on your own computer or on the web. Here is a link to a webpage that evaluates Sage code and shows you the result immediately. Type in code like the following to graph a vector function. (Replace the three components of the vector function with any three vector function components.) The 0 and 2pi are the bounds on t .

To see that example plotted, click here.


สารบัญ

Vector fields on subsets of Euclidean space Edit

Given a subset NS ใน NS NS , NS vector field is represented by a vector-valued function วี: NSNS NS in standard Cartesian coordinates (NS1, …, NSNS) . If each component of วี is continuous, then วี is a continuous vector field, and more generally วี is a C k vector field if each component of วี is k times continuously differentiable.

A vector field can be visualized as assigning a vector to individual points within an NS-dimensional space. [1]

Given two C k -vector fields วี , W defined on NS and a real-valued C k -function f defined on NS , the two operations scalar multiplication and vector addition

define the module of C k -vector fields over the ring of C k -functions where the multiplication of the functions is defined pointwise (therefore, it is commutative with the multiplicative identity being NSid(NS) := 1 ).

Coordinate transformation law Edit

In physics, a vector is additionally distinguished by how its coordinates change when one measures the same vector with respect to a different background coordinate system. The transformation properties of vectors distinguish a vector as a geometrically distinct entity from a simple list of scalars, or from a covector.

Thus, suppose that (NS1. NSNS) is a choice of Cartesian coordinates, in terms of which the components of the vector วี เป็น

and suppose that (y1. yNS) are NS functions of the NSผม defining a different coordinate system. Then the components of the vector วี in the new coordinates are required to satisfy the transformation law

Such a transformation law is called contravariant. A similar transformation law characterizes vector fields in physics: specifically, a vector field is a specification of NS functions in each coordinate system subject to the transformation law (1) relating the different coordinate systems.

Vector fields are thus contrasted with scalar fields, which associate a number or scalar to every point in space, and are also contrasted with simple lists of scalar fields, which do not transform under coordinate changes.

Vector fields on manifolds Edit

If the manifold M is smooth or analytic—that is, the change of coordinates is smooth (analytic)—then one can make sense of the notion of smooth (analytic) vector fields. The collection of all smooth vector fields on a smooth manifold M is often denoted by Γ ( T M ) or C ∞ ( M , T M ) (M,TM)> (especially when thinking of vector fields as sections) the collection of all smooth vector fields is also denoted by X ( M ) >(M)> (a fraktur "X").

  • A vector field for the movement of air on Earth will associate for every point on the surface of the Earth a vector with the wind speed and direction for that point. This can be drawn using arrows to represent the wind the length (magnitude) of the arrow will be an indication of the wind speed. A "high" on the usual barometric pressure map would then act as a source (arrows pointing away), and a "low" would be a sink (arrows pointing towards), since air tends to move from high pressure areas to low pressure areas. field of a moving fluid. In this case, a velocity vector is associated to each point in the fluid. are 3 types of lines that can be made from (time-dependent) vector fields. They are:
    . The fieldlines can be revealed using small iron filings. allow us to use a given set of initial and boundary conditions to deduce, for every point in Euclidean space, a magnitude and direction for the force experienced by a charged test particle at that point the resulting vector field is the electromagnetic field.
  • A gravitational field generated by any massive object is also a vector field. For example, the gravitational field vectors for a spherically symmetric body would all point towards the sphere's center with the magnitude of the vectors reducing as radial distance from the body increases.

Gradient field in euclidean spaces Edit

Vector fields can be constructed out of scalar fields using the gradient operator (denoted by the del: ∇). [4]

A vector field วี defined on an open set NS is called a gradient field or a conservative field if there exists a real-valued function (a scalar field) NS บน NS ดังนั้น

The associated flow is called the gradient flow , and is used in the method of gradient descent.

The path integral along any closed curve γ (γ(0) = γ(1)) in a conservative field is zero:

Central field in euclidean spaces Edit

NS ∞ -vector field over NS NS <0>is called a central field if

where O(NS, NS) is the orthogonal group. We say central fields are invariant under orthogonal transformations around 0.

The point 0 is called the center of the field.

Since orthogonal transformations are actually rotations and reflections, the invariance conditions mean that vectors of a central field are always directed towards, or away from, 0 this is an alternate (and simpler) definition. A central field is always a gradient field, since defining it on one semiaxis and integrating gives an antigradient.

Line integral Edit

A common technique in physics is to integrate a vector field along a curve, also called determining its line integral. Intuitively this is summing up all vector components in line with the tangents to the curve, expressed as their scalar products. For example, given a particle in a force field (e.g. gravitation), where each vector at some point in space represents the force acting there on the particle, the line integral along a certain path is the work done on the particle, when it travels along this path. Intuitively, it is the sum of the scalar products of the force vector and the small tangent vector in each point along the curve.

The line integral is constructed analogously to the Riemann integral and it exists if the curve is rectifiable (has finite length) and the vector field is continuous.

Given a vector field V and a curve γ , parametrized by t in [NS, NS] (where a and b are real numbers), the line integral is defined as

Divergence Edit

The divergence of a vector field on Euclidean space is a function (or scalar field). In three-dimensions, the divergence is defined by

with the obvious generalization to arbitrary dimensions. The divergence at a point represents the degree to which a small volume around the point is a source or a sink for the vector flow, a result which is made precise by the divergence theorem.

The divergence can also be defined on a Riemannian manifold, that is, a manifold with a Riemannian metric that measures the length of vectors.

Curl in three dimensions Edit

The curl is an operation which takes a vector field and produces another vector field. The curl is defined only in three dimensions, but some properties of the curl can be captured in higher dimensions with the exterior derivative. In three dimensions, it is defined by

The curl measures the density of the angular momentum of the vector flow at a point, that is, the amount to which the flow circulates around a fixed axis. This intuitive description is made precise by Stokes' theorem.

Index of a vector field Edit

The index of a vector field is an integer that helps to describe the behaviour of a vector field around an isolated zero (i.e., an isolated singularity of the field). In the plane, the index takes the value -1 at a saddle singularity but +1 at a source or sink singularity.

Let the dimension of the manifold on which the vector field is defined be NS. Take a small sphere S around the zero so that no other zeros lie in the interior of S. A map from this sphere to a unit sphere of dimensions NS − 1 can be constructed by dividing each vector on this sphere by its length to form a unit length vector, which is a point on the unit sphere S n-1 . This defines a continuous map from S to S n-1 . The index of the vector field at the point is the degree of this map. It can be shown that this integer does not depend on the choice of S, and therefore depends only on the vector field itself.

The index of the vector field as a whole is defined when it has just a finite number of zeroes. In this case, all zeroes are isolated, and the index of the vector field is defined to be the sum of the indices at all zeroes.

The index is not defined at any non-singular point (i.e., a point where the vector is non-zero). it is equal to +1 around a source, and more generally equal to (−1) k around a saddle that has k contracting dimensions and n-k expanding dimensions. For an ordinary (2-dimensional) sphere in three-dimensional space, it can be shown that the index of any vector field on the sphere must be 2. This shows that every such vector field must have a zero. This implies the hairy ball theorem, which states that if a vector in R 3 is assigned to each point of the unit sphere S 2 in a continuous manner, then it is impossible to "comb the hairs flat", i.e., to choose the vectors in a continuous way such that they are all non-zero and tangent to S 2 .

For a vector field on a compact manifold with a finite number of zeroes, the Poincaré-Hopf theorem states that the index of the vector field is equal to the Euler characteristic of the manifold.

Michael Faraday, in his concept of lines of force, emphasized that the field itself should be an object of study, which it has become throughout physics in the form of field theory.

In addition to the magnetic field, other phenomena that were modeled by Faraday include the electrical field and light field.

Consider the flow of a fluid through a region of space. At any given time, any point of the fluid has a particular velocity associated with it thus there is a vector field associated to any flow. The converse is also true: it is possible to associate a flow to a vector field having that vector field as its velocity.

Given a vector field วี defined on NS, one defines curves γ(NS) on NS such that for each NS in an interval ผม

By the Picard–Lindelöf theorem, if วี is Lipschitz continuous there is a unique 1 -curve γNS for each point NS ใน NS so that, for some ε > 0,

The curves γNS are called integral curves หรือ trajectories (or less commonly, flow lines) of the vector field วี and partition NS into equivalence classes. It is not always possible to extend the interval (−ε, +ε) to the whole real number line. The flow may for example reach the edge of NS in a finite time. In two or three dimensions one can visualize the vector field as giving rise to a flow on NS. If we drop a particle into this flow at a point NS it will move along the curve γNS in the flow depending on the initial point NS. If NS is a stationary point of วี (i.e., the vector field is equal to the zero vector at the point NS), then the particle will remain at NS.

Given a smooth function between manifolds, NS : NSNS, the derivative is an induced map on tangent bundles, NS* : TMTN. Given vector fields วี : NSTM และ W : NSTN, we say that W เป็น NS-related to วี if the equation WNS = NSวี holds.

If วีผม เป็น NS-related to Wผม, ผม = 1, 2, then the Lie bracket [วี1, วี2] is NS-related to [W1, W2].

Replacing vectors by NS-vectors (NSth exterior power of vectors) yields NS-vector fields taking the dual space and exterior powers yields differential k-forms, and combining these yields general tensor fields.

Algebraically, vector fields can be characterized as derivations of the algebra of smooth functions on the manifold, which leads to defining a vector field on a commutative algebra as a derivation on the algebra, which is developed in the theory of differential calculus over commutative algebras.


Syllabus

If at any time during this semester you feel ill, in the interest of your own health and safety as well as the health and safety of your instructors and classmates, you are encouraged not to attend face-to-face class meetings or events. Please review the steps outlined below that you should follow to ensure your absence for illness will be excused. These steps also apply to not participating in synchronous online class meetings if you feel too ill to do so and missing specified assignment due dates in asynchronous online classes because of illness.

1. If you are ill and think the symptoms might be COVID-19-related:
a) Call Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider.
b) Self-report as soon as possible using the Dean of Students COVID-19 webpage. This website has specific directions about how to upload documentation from a medical provider and what will happen if your illness renders you unable to participate in classes for more than one week.
c) If your illness is determined to be COVID-19-related, all remaining documentation and communication will be handled through the Office of the Dean of Students, including notification of your instructors of the period of time you may be absent from and may return to classes.
d) If your illness is determined not to be COVID-19-related, please follow steps 2.a-d below.

2. If you are ill and can attribute your symptoms to something other than COVID-19:
a) If your illness renders you unable to attend face-to-face classes, participate in synchronous online classes, or miss specified assignment due dates in asynchronous online classes, you are encouraged to visit with either Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider. Note that Student Health Services and your own and other health care providers may arrange virtual visits.
b) During the health provider visit, request a "return to school" note.
c) E-mail the instructor a picture of that note.
d) Return to class by the next class period after the date indicated on your note.

Following the steps outlined above helps to keep your instructors informed about your absences and ensures your absence or missing an assignment due date because of illness will be marked excused. You will still be responsible to complete within a week of returning to class any assignments, quizzes, or exams you miss because of illness.

This is a distance class, all the students enrolled in this class should be highly responsible in managing their schedule. This course moves very fast. If you fall behind, even by one section, you may not be able to catch up, since each section generally depends very heavily on the ones before. A student enrolled in this class has to be capable to read and understand the textbook. If in the past you struggled in self-lecturing mathematics, then this is not the class for you and it is highly recommended you switch to a face-to-face class. The instructor expects for the student to read each section of the textbook, watch the videos and read the class-notes before attempting to solve the homework problems. When asking for help you need to show all your work, by typing it on the email (better) or by attaching a scanned copy of your work. When asking for help for a WebWork problem it is recommended you use the button email to the instructor at the bottom of the screen, otherwise you may not get any answer.


3 คำตอบ 3

As you seem to have worked out for yourself, you can just write the Taylor series for each component of $f$ separately so I guess the remaining issue is how to write this down neatly.

Your "something" here is the second derivative of $f$, which is the third-order tensor comprised of the Hessian matrices $H_1,ldots,H_n$ so you need to use a notation that can deal with this kind of object. If you're comfortable with the Einstein summation convention, then you can write $f_i( heta) = f_i( heta_0) + A_ ( heta_0)( heta - heta_0)_j + frac 1 2 H_( heta')( heta - heta_0)_j( heta- heta_0)_k,$ โดยที่ $H_ = frac.$

หรือคุณอาจใช้บางอย่างเช่น $f( heta) = f( heta_0) + A( heta_0)( heta - heta_0) + frac 1 2 H ( heta')( heta- heta_0 , heta- heta_0)$โดยที่ $H$ ถูกตีความเป็นรูปแบบ bilinear บน $mathbb R^m$ รับค่าใน $mathbb R^n.$ คุณสามารถเขียนสิ่งนี้โดยใช้การคูณเมทริกซ์ตามคำตอบของ Mostafa สิ่งนี้ไม่เป็นไปตามมาตรฐานเล็กน้อย และคุณควรชัดเจนว่า "เวกเตอร์" $A$ และ "เมทริกซ์" $H$ ของคุณเป็น $mathbb R^n$-valued


ดูวิดีโอ: เวกเตอร ขอ 17 Pat1 ตลาคม 54 ขอ 33 (พฤศจิกายน 2021).